Реши неравенство 7x - x² < 0

Привет! Давай разберемся с этим неравенством шаг за шагом. У нас есть неравенство: $7x - x^2 < 0$. **Шаг 1: Приведем неравенство к более привычному виду.** Нам удобнее, когда коэффициент при $x^2$ положительный. Для этого умножим всё неравенство на $-1$. Но когда мы умножаем или делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства обязательно меняется на противоположный. Было: $7x - x^2 < 0$ Умножим на $-1$: $(-1) \cdot (7x - x^2) > (-1) \cdot 0$ Получим: $-7x + x^2 > 0$ Можно поменять местами слагаемые, чтобы $x^2$ был первым: $x^2 - 7x > 0$. **Шаг 2: Найдем корни соответствующего квадратного уравнения.** Чтобы понять, где выражение $x^2 - 7x$ меняет свой знак, нужно найти, когда оно равно нулю. $x^2 - 7x = 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 7) = 0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит: $x = 0$ или $x - 7 = 0$ Отсюда: $x = 0$ или $x = 7$. Эти две точки, $0$ и $7$, делят числовую прямую на три промежутка: * $(-\infty, 0)$ * $(0, 7)$ * $(7, +\infty)$ **Шаг 3: Определим знак выражения $x^2 - 7x$ на каждом промежутке.** Поскольку в нашем неравенстве стоит строгий знак ($>$), то точки $0$ и $7$ не включаются в решение. На числовой прямой они будут обозначаться "выколотыми" (пустыми) кружочками. Давай возьмем по одной "пробной" точке из каждого промежутка и подставим ее в выражение $x^2 - 7x$, чтобы узнать его знак. 1. **Промежуток $(-\infty, 0)$:** Возьмем, например, $x = -1$. $(-1)^2 - 7(-1) = 1 + 7 = 8$. Число $8$ положительное ($8 > 0$). Значит, весь этот промежуток является частью решения. 2. **Промежуток $(0, 7)$:** Возьмем, например, $x = 1$. $(1)^2 - 7(1) = 1 - 7 = -6$. Число $-6$ отрицательное ($-6 \ngtr 0$). Значит, этот промежуток не является частью решения. 3. **Промежуток $(7, +\infty)$:** Возьмем, например, $x = 8$. $(8)^2 - 7(8) = 64 - 56 = 8$. Число $8$ положительное ($8 > 0$). Значит, весь этот промежуток является частью решения. **Шаг 4: Запишем решение и выберем правильный вариант на числовой прямой.** Итак, наше неравенство $x^2 - 7x > 0$ выполняется, когда $x$ находится в промежутках $(-\infty, 0)$ или $(7, +\infty)$. Это можно записать так: $x \in (-\infty, 0) \cup (7, +\infty)$. Теперь посмотрим на предложенные числовые прямые: * Вариант 1 показывает решение между 0 и 7. Это не наш случай. * Вариант 2 показывает решение справа от 0. Тоже не подходит. * Вариант 3 показывает решение справа от 7. Это только часть нашего решения. * Вариант 4 показывает решение слева от 0 и справа от 7, при этом точки 0 и 7 выколоты (открытые кружочки), что соответствует строгому неравенству. Это точно соответствует нашему решению! **Ответ: 4**