Реши контрольную работу по математике за 7 класс: алгебра и геометрия

Привет! Сейчас помогу тебе с твоей контрольной. **Алгебра** 1. Упростим выражение $3y(y + 4x)$ при $x = 4$ и $y = -2$. Подставляем значения $x$ и $y$ в выражение: $$3 \cdot (-2) \cdot (-2 + 4 \cdot 4) = -6 \cdot (-2 + 16) = -6 \cdot 14 = -84.$$ **Ответ: -84** 2. Решим уравнение $6x - 2(x - 3) = 26$. Сначала раскроем скобки: $$6x - 2x + 6 = 26.$$ Затем упростим выражение: $$4x + 6 = 26.$$ Перенесем 6 в правую часть уравнения: $$4x = 26 - 6.$$ $$4x = 20.$$ Разделим обе части на 4: $$x = \frac{20}{4} = 5.$$ **Ответ: x = 5** 3. a) Построим график функции $y = -2x - 2$. Чтобы построить график, нужно найти две точки. * Пусть $x = 0$, тогда $y = -2 \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$. * Пусть $x = -1$, тогда $y = -2 \cdot (-1) - 2 = 2 - 2 = 0$. Получаем точку $(-1, 0)$. Проводим прямую через эти две точки. б) Определим, проходит ли график функции через точку $A(10, -20)$. Подставим координаты точки $A$ в уравнение функции: $$-20 = -2 \cdot 10 - 2.$$ $$-20 = -20 - 2.$$ $$-20 = -22.$$ Так как $-20 \neq -22$, то график функции не проходит через точку $A(10, -20)$. **Ответ: График не проходит через точку А(10; -20)** 4. Разложим на множители: a) $2x^2y + 4xy^2$. Вынесем общий множитель $2xy$ за скобки: $$2xy(x + 2y).$$ б) $100a - a^3$. Вынесем общий множитель $a$ за скобки: $$a(100 - a^2).$$ Заметим, что $100 - a^2$ это разность квадратов, которую можно разложить как $(10 - a)(10 + a)$. $$a(10 - a)(10 + a).$$ **Ответ: a) $2xy(x + 2y)$, б) $a(10 - a)(10 + a)$** 5. Три бригады рабочих изготовили за смену 110 деталей. Вторая бригада изготовила на 10 деталей больше, чем первая бригада. А третья бригада изготовила в 2 раза больше, чем первая. Сколько деталей изготовила каждая бригада? Пусть первая бригада изготовила $x$ деталей. Тогда вторая бригада изготовила $x + 10$ деталей. Третья бригада изготовила $2x$ деталей. Вместе они изготовили $x + (x + 10) + 2x = 110$ деталей. Решим уравнение: $$4x + 10 = 110.$$ $$4x = 110 - 10.$$ $$4x = 100.$$ $$x = \frac{100}{4} = 25.$$ Итак, первая бригада изготовила 25 деталей. Вторая бригада изготовила $25 + 10 = 35$ деталей. Третья бригада изготовила $2 \cdot 25 = 50$ деталей. **Ответ: Первая бригада - 25 деталей, вторая бригада - 35 деталей, третья бригада - 50 деталей** **Геометрия** 6. Сумма вертикальных углов $\angle MOE$ и $\angle DOC$, образованных при пересечении прямых $MC$ и $DE$, равна $204^\circ$. Найдите угол $\angle MOD$. Вертикальные углы равны, значит $\angle MOE = \angle DOC$. Тогда $\angle MOE = \angle DOC = \frac{204^\circ}{2} = 102^\circ$. Угол $\angle MOC$ является смежным с углом $\angle MOE$, поэтому $$\angle MOC = 180^\circ - \angle MOE = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ.$$ Угол $\angle MOD$ является смежным с углом $\angle DOC$, поэтому $$\angle MOD = 180^\circ - \angle DOC = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ.$$ **Ответ: $\angle MOD = 78^\circ$** 7. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен $120^\circ$. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 6 см. Найдите основание этого треугольника. Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с углом $\angle B = 120^\circ$. Тогда углы при основании равны: $$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ.$$ Пусть $BH$ — высота, проведенная к боковой стороне $AC$, и $BH = 6$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нём $\angle BAH = 30^\circ$, а $BH = 6$ см. Катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Значит, $AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 6 = 12$ см. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $BC = AB = 12$ см. Теперь найдем основание $AC$. Проведём высоту $BD$ к основанию $AC$. Она также является медианой и биссектрисой. Тогда $\angle ABD = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. В нём $\angle BAD = 30^\circ$, а $AB = 12$ см. Тогда $AD = AB \cdot \cos{30^\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Так как $BD$ — медиана, то $AC = 2 \cdot AD = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см. **Ответ: $12\sqrt{3}$ см** 8. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 8,2 см, а боковая сторона треугольника равна 16,4 см. Найдите углы этого треугольника. Пусть $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. Пусть $BD$ — высота, проведенная к основанию $AC$. Тогда $BD = 8,2$ см, а $AB = BC = 16,4$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. $$\sin{\angle A} = \frac{BD}{AB} = \frac{8,2}{16,4} = \frac{1}{2}.$$ Значит, $\angle A = 30^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, то $\angle C = \angle A = 30^\circ$. Тогда $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$. **Ответ: $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, $\angle B = 120^\circ$** Надеюсь, мои объяснения были понятными! Если у тебя будут еще вопросы, обращайся!