Привет! Давай решим эти примеры по порядку.
**323.** Упростить выражение $\\left( \\frac{49b}{a} - \\frac{4a}{b} \\right) \\cdot \\frac{1}{7b + 2a}$
Сначала приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$$\\frac{49b}{a} - \\frac{4a}{b} = \\frac{49b^2 - 4a^2}{ab}$$
Теперь можно заметить, что в числителе разность квадратов:
$$49b^2 - 4a^2 = (7b)^2 - (2a)^2 = (7b - 2a)(7b + 2a)$$
Тогда выражение примет вид:
$$\\frac{(7b - 2a)(7b + 2a)}{ab} \\cdot \\frac{1}{7b + 2a}$$
Сокращаем $(7b + 2a)$ в числителе и знаменателе:
$$\\frac{7b - 2a}{ab}$$
**Ответ: $\\frac{7b - 2a}{ab}$**
**324.** Упростить выражение $\\left( \\frac{25b}{a} - \\frac{36a}{b} \\right) \\cdot \\frac{1}{5b + 6a}$
Приводим дроби к общему знаменателю:
$$\\frac{25b}{a} - \\frac{36a}{b} = \\frac{25b^2 - 36a^2}{ab}$$
В числителе снова разность квадратов:
$$25b^2 - 36a^2 = (5b)^2 - (6a)^2 = (5b - 6a)(5b + 6a)$$
Выражение становится:
$$\\frac{(5b - 6a)(5b + 6a)}{ab} \\cdot \\frac{1}{5b + 6a}$$
Сокращаем $(5b + 6a)$:
$$\\frac{5b - 6a}{ab}$$
**Ответ: $\\frac{5b - 6a}{ab}$**
**325.** Упростить выражение $\\left( \\frac{25b}{a} - \\frac{100a}{b} \\right) \\cdot \\frac{1}{5b + 10a}$
Приводим к общему знаменателю:
$$\\frac{25b}{a} - \\frac{100a}{b} = \\frac{25b^2 - 100a^2}{ab}$$
Выносим 25 за скобки в числителе:
$$25b^2 - 100a^2 = 25(b^2 - 4a^2)$$
И снова разность квадратов:
$$b^2 - 4a^2 = (b - 2a)(b + 2a)$$
Тогда:
$$\\frac{25(b - 2a)(b + 2a)}{ab} \\cdot \\frac{1}{5b + 10a}$$
Выносим 5 за скобки во втором знаменателе:
$$5b + 10a = 5(b + 2a)$$
Выражение примет вид:
$$\\frac{25(b - 2a)(b + 2a)}{ab} \\cdot \\frac{1}{5(b + 2a)}$$
Сокращаем $(b + 2a)$ и 25 с 5:
$$\\frac{5(b - 2a)}{ab}$$
**Ответ: $\\frac{5(b - 2a)}{ab}$**
**326.** Выполнить деление $\\frac{b}{18b - 81} : \\frac{4b^2}{4b^2 - 81}$
Заменим деление умножением на перевернутую дробь:
$$\\frac{b}{18b - 81} \\cdot \\frac{4b^2 - 81}{4b^2}$$
Вынесем 9 за скобки в первом знаменателе:
$$18b - 81 = 9(2b - 9)$$
Во втором числителе разность квадратов:
$$4b^2 - 81 = (2b)^2 - 9^2 = (2b - 9)(2b + 9)$$
Выражение:
$$\\frac{b}{9(2b - 9)} \\cdot \\frac{(2b - 9)(2b + 9)}{4b^2}$$
Сокращаем $(2b - 9)$ и $b$:
$$\\frac{2b + 9}{9 \cdot 4b} = \\frac{2b + 9}{36b}$$
**Ответ: $\\frac{2b + 9}{36b}$**
**327.** Выполнить деление $\\frac{b}{20b - 16} : \\frac{25b^2}{25b^2 - 16}$
Заменим деление умножением:
$$\\frac{b}{20b - 16} \\cdot \\frac{25b^2 - 16}{25b^2}$$
Вынесем 4 за скобки в первом знаменателе:
$$20b - 16 = 4(5b - 4)$$
Во втором числителе разность квадратов:
$$25b^2 - 16 = (5b)^2 - 4^2 = (5b - 4)(5b + 4)$$
Выражение:
$$\\frac{b}{4(5b - 4)} \\cdot \\frac{(5b - 4)(5b + 4)}{25b^2}$$
Сокращаем $(5b - 4)$ и $b$:
$$\\frac{5b + 4}{4 \cdot 25b} = \\frac{5b + 4}{100b}$$
**Ответ: $\\frac{5b + 4}{100b}$**
**328.** Выполнить деление $\\frac{b}{4b - 1} : \\frac{16b^2}{16b^2 - 1}$
Заменим деление умножением:
$$\\frac{b}{4b - 1} \\cdot \\frac{16b^2 - 1}{16b^2}$$
Во втором числителе разность квадратов:
$$16b^2 - 1 = (4b)^2 - 1^2 = (4b - 1)(4b + 1)$$
Выражение:
$$\\frac{b}{4b - 1} \\cdot \\frac{(4b - 1)(4b + 1)}{16b^2}$$
Сокращаем $(4b - 1)$ и $b$:
$$\\frac{4b + 1}{16b}$$
**Ответ: $\\frac{4b + 1}{16b}$**
