Реши уравнение (3^x + 2^x)(3^x + 3 * 2^x) = 8 * 6^x

Привет! Давай разберемся с этим уравнением. Сначала запишем уравнение, которое дано: $$(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 6^x$$ Раскроем скобки в левой части: $$3^{2x} + 3 \cdot 3^x \cdot 2^x + 3^x \cdot 2^x + 3 \cdot 2^{2x} = 8 \cdot 6^x$$ Приведем подобные слагаемые: $$3^{2x} + 4 \cdot 3^x \cdot 2^x + 3 \cdot 2^{2x} = 8 \cdot 6^x$$ Заметим, что $3^x \cdot 2^x = 6^x$, тогда: $$3^{2x} + 4 \cdot 6^x + 3 \cdot 2^{2x} = 8 \cdot 6^x$$ Перенесем все члены в левую часть: $$3^{2x} + 4 \cdot 6^x + 3 \cdot 2^{2x} - 8 \cdot 6^x = 0$$ Приведем подобные слагаемые: $$3^{2x} - 4 \cdot 6^x + 3 \cdot 2^{2x} = 0$$ Разделим обе части уравнения на $2^{2x}$: $$\frac{3^{2x}}{2^{2x}} - 4 \cdot \frac{6^x}{2^{2x}} + 3 = 0$$ Преобразуем дроби: $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 4 \cdot \frac{6^x}{2^{2x}} + 3 = 0$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 4 \cdot \frac{3^x \cdot 2^x}{2^x \cdot 2^x} + 3 = 0$$ $$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 4 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 3 = 0$$ Теперь сделаем замену: $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 4t + 3 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$. Корни: $$t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$ $$t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$$ Теперь вернемся к замене и найдем $x$: 1) $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 3$ $x = \log_{\frac{3}{2}}(3)$ 2) $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1$ $x = 0$ Итак, корни уравнения: $x = \log_{\frac{3}{2}}(3)$ и $x = 0$. **Ответ: $x = \log_{\frac{3}{2}}(3)$ и $x = 0$**