Реши уравнение (3^x + 2^x)(3^x + 3 * 2^x) = 8 * 6^x

Конечно, давай разберем задачу 287 под номером 1. Тебе нужно решить уравнение: $$(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x) = 8 \cdot 6^x$$ Для начала, давай поделим обе части уравнения на $6^x$. Помни, что $6^x = 3^x \cdot 2^x$. Тогда получим: $$\frac{(3^x + 2^x)(3^x + 3 \cdot 2^x)}{3^x \cdot 2^x} = 8$$ Теперь разделим каждый множитель в числителе на $3^x$ и $2^x$ соответственно: $$\left(\frac{3^x}{2^x} + \frac{2^x}{2^x}\right)\left(\frac{3^x}{3^x} + 3 \cdot \frac{2^x}{3^x}\right) = 8$$ Это можно упростить до: $$\left(\left(\frac{3}{2}\right)^x + 1\right)\left(1 + 3\left(\frac{2}{3}\right)^x\right) = 8$$ Чтобы было проще, давай сделаем замену. Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$. Тогда $\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{1}{t}$. Теперь наше уравнение выглядит так: $$(t + 1)\left(1 + \frac{3}{t}\right) = 8$$ Умножим скобки: $$t + 1 + 3 + \frac{3}{t} = 8$$ $$t + \frac{3}{t} + 4 = 8$$ $$t + \frac{3}{t} = 4$$ Умножим обе части на $t$, чтобы избавиться от дроби: $$t^2 + 3 = 4t$$ $$t^2 - 4t + 3 = 0$$ Теперь у нас квадратное уравнение. Давай найдем его корни. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Теперь вернемся к замене $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x$. 1) Если $t = 1$, то $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 1$. Это возможно только если $x = 0$. 2) Если $t = 3$, то $\left(\frac{3}{2}\right)^x = 3$. Чтобы найти $x$, нужно взять логарифм по основанию $\frac{3}{2}$ от обеих частей: $$x = \log_{\frac{3}{2}}(3)$$ Итак, у нас два решения: **Ответ: $x = 0$ и $x = \log_{\frac{3}{2}}(3)$**