Упростить

Конечно, давай упростим это выражение вместе! Вот как это можно сделать по шагам: Задание: Упростить выражение: $$\frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)}$$ Решение: 1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого нужно внимательно посмотреть на знаменатели и понять, каких множителей не хватает каждой дроби. Заметим, что знаки в скобках $(a-b)$, $(b-a)$ и т.д. отличаются, поэтому нужно изменить знаки, чтобы получить одинаковые выражения. 2. Изменим знаки во второй и третьей дробях, чтобы получить одинаковые множители в знаменателях: * Во второй дроби изменим $(b-a)$ на $-(a-b)$, тогда дробь станет: $$-\frac{1}{b(b-c)(a-b)}$$ * В третьей дроби изменим $(c-a)$ на $-(a-c)$ и $(c-b)$ на $-(b-c)$, тогда дробь станет: $$\frac{1}{c(a-c)(b-c)}$$ 3. Теперь наше выражение выглядит так: $$\frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(b-c)(a-b)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)}$$ 4. Найдем общий знаменатель. Это будет выражение $abc(a-b)(a-c)(b-c)$. Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю: * Первая дробь: $$\frac{bc(b-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}$$ * Вторая дробь: $$-\frac{ac(a-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}$$ * Третья дробь: $$\frac{ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}$$ 5. Теперь сложим все дроби: $$\frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}$$ 6. Раскроем скобки в числителе: $$\frac{b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}$$ 7. Сгруппируем члены в числителе: $$\frac{(a^2b - a^2c) + (b^2c - ab^2) + (ac^2 - bc^2)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}$$ 8. Вынесем общие множители: $$\frac{a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}$$ 9. Преобразуем числитель. Заметим, что выражение в числителе можно представить как: $$-(a-b)(a-c)(b-c)$$ Тогда выражение станет: $$\frac{-(a-b)(a-c)(b-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}$$ 10. Сократим $(a-b)$, $(a-c)$ и $(b-c)$ : $$\frac{-1}{abc}$$ Ответ: $$-\frac{1}{abc}$$