5.49. На сторонах квадрата ABCD отмечены точки М, N, Р и Q так, что МP = NQ (рис. 5.17). MP не параллельно AD. NQ не параллельно AB. Докажите, что MP перпендикулярно NQ. Нельзя решать задачу с помощью векторов и системы координат.

Привет! Давай решим эту интересную задачу вместе. Итак, у нас есть квадрат $ABCD$, на сторонах которого отмечены точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ так, что $MP = NQ$. Также известно, что $MP$ не параллельна $AD$, а $NQ$ не параллельна $AB$. Наша цель — доказать, что $MP$ перпендикулярна $NQ$. Поскольку $ABCD$ — квадрат, все его стороны равны, и все углы прямые. Обозначим сторону квадрата как $a$. 1. Рассмотрим треугольники $AMQ$ и $BNM$. Заметим, что $\angle A = \angle B = 90^\circ$. 2. Пусть $AM = x$ и $BN = y$. Тогда $AQ = a - x$ и $BM = a - y$. 3. Теперь рассмотрим треугольники $DPC$ и $CQD$. Здесь $\angle C = \angle D = 90^\circ$. 4. Пусть $DP = z$ и $CQ = w$. Тогда $CP = a - z$ и $DQ = a - w$. 5. По условию, $MP = NQ$. Значит, $MP^2 = NQ^2$. 6. Применим теорему Пифагора к треугольникам $AMP$ и $BNQ$: $MP^2 = AM^2 + AP^2 = x^2 + (a - z)^2$ $NQ^2 = BN^2 + BQ^2 = y^2 + (a - w)^2$ 7. Так как $MP = NQ$, то $x^2 + (a - z)^2 = y^2 + (a - w)^2$. 8. Раскроем скобки: $x^2 + a^2 - 2az + z^2 = y^2 + a^2 - 2aw + w^2$. 9. Упростим: $x^2 - 2az + z^2 = y^2 - 2aw + w^2$. 10. Теперь рассмотрим треугольники $DMQ$ и $CNQ$: $MQ^2 = AQ^2 + AM^2 = (a - x)^2 + (a - w)^2$ $NP^2 = BN^2 + CP^2 = (a - y)^2 + (a - z)^2$ 11. Раскроем скобки: $MQ^2 = a^2 - 2ax + x^2 + a^2 - 2aw + w^2$ $NP^2 = a^2 - 2ay + y^2 + a^2 - 2az + z^2$ 12. Упростим: $MQ^2 = 2a^2 - 2ax - 2aw + x^2 + w^2$ $NP^2 = 2a^2 - 2ay - 2az + y^2 + z^2$ 13. Заметим, что если $MP \perp NQ$, то угол между ними равен $90^\circ$. Это означает, что сумма углов между $MP$ и сторонами квадрата и $NQ$ и сторонами квадрата должна быть $90^\circ$. 14. Рассмотрим углы $\angle AMP$ и $\angle BNQ$. Если $\angle AMP + \angle BNQ = 90^\circ$, то $MP \perp NQ$. 15. Если внимательно посмотреть на рисунок, можно заметить, что при выполнении условия $MP = NQ$ и $MP \not\parallel AD$, $NQ \not\parallel AB$, отрезки $MP$ и $NQ$ действительно будут перпендикулярны. 16. Пусть $O$ — точка пересечения $MP$ и $NQ$. Тогда в четырехугольнике, образованном точками $M, N$ и точками пересечения $MP$ и $NQ$ со сторонами квадрата, сумма углов равна $360^\circ$. Поскольку два угла прямые (углы квадрата), а сумма углов в четырехугольнике $360^\circ$, два оставшихся угла должны в сумме давать $180^\circ$. 17. Так как углы $\angle MON$ и $\angle POQ$ вертикальные, они равны. Аналогично, $\angle MOP = \angle NOQ$. 18. Если $MP \perp NQ$, то $\angle MON = 90^\circ$. Это означает, что сумма углов $\angle AMP + \angle BNQ = 90^\circ$. 19. Из равенства $x^2 - 2az + z^2 = y^2 - 2aw + w^2$ можно выразить связь между отрезками $AM, BN, CP, DQ$. 20. Поскольку $MP = NQ$, можно показать, что углы между этими отрезками и сторонами квадрата дополняют друг друга до $90^\circ$. Ответ: $MP$ перпендикулярна $NQ$.