Решение

Привет! Давай разберем задачи по порядку.

Задача 27-1

Если математика должна быть первым уроком, то остается 4 места для других предметов. У нас есть 4 предмета (русский, география, английский, физкультура), которые нужно расставить на 4 места. Это задача на перестановки.

Количество вариантов равно числу перестановок из 4 элементов, то есть 4! (4 факториал). $$4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

Ответ: 24 варианта

Задача 27-2

На игральном кубике 6 граней, пронумерованных от 1 до 6. Четные цифры на кубике: 2, 4, 6. То есть, 3 четные цифры.

Вероятность выпадения четной цифры на одном кубике: $$P(\text{чет}) = \frac{\text{Количество четных цифр}}{\text{Общее количество цифр}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Вероятность, что на обоих кубиках выпадут четные цифры: $$P(\text{оба чет}) = P(\text{чет}) \cdot P(\text{чет}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Ответ: 1/4 или 0,25

Задача 28-2

На рисунке "ежик" состоит из цифр 1 и 6. Нужно сложить все эти цифры.

Считаем количество единиц: 11 единиц. Считаем количество шестерок: 1 шестерка (голова ежика) + 2 шестерки (лапки) = 3 шестерки.

Сумма: $$11 \cdot 1 + 3 \cdot 6 = 11 + 18 = 29$$

Ответ: 29

Задача 29-1

Пропорция: $2\frac{2}{3} : 3\frac{1}{3} = x : 3,5$

Сначала переведем смешанные дроби в неправильные:

$$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$$ $$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$$

Теперь пропорция выглядит так: $\frac{8}{3} : \frac{10}{3} = x : 3,5$

Выразим $x$:

$$x = \frac{\frac{8}{3} \cdot 3,5}{\frac{10}{3}} = \frac{8 \cdot 3,5}{10} = \frac{28}{10} = 2,8$$

Задача 29-2

Туристы прошли 7% пути, и им осталось 176,7 км. Значит, 176,7 км – это 93% пути (100% - 7% = 93%).

Пусть $x$ – весь путь. Тогда:

$$0,93x = 176,7$$ $$x = \frac{176,7}{0,93} = 190$$

Задача 30-1

Пусть $m_c$ – масса сосуда, $m_ж$ – масса жидкости. Из условия:

$$m_c + m_ж = 660$$ $$m_c = \frac{2}{9} m_ж$$

Подставим второе уравнение в первое:

$$\frac{2}{9} m_ж + m_ж = 660$$ $$\frac{11}{9} m_ж = 660$$ $$m_ж = \frac{660 \cdot 9}{11} = 60 \cdot 9 = 540$$

Теперь найдем массу сосуда:

$$m_c = 660 - 540 = 120$$

Масса сосуда также может быть найдена, как:

$$m_c = \frac{2}{9} m_ж = \frac{2}{9} \cdot 540 = 2 \cdot 60 = 120$$

Задача 30-2

Пусть $v_к$ – скорость катера, $v_р$ – скорость течения реки, $S$ – расстояние между пунктами A и B.

По течению:

$$S = (v_к + v_р) \cdot 3$$

Против течения:

$$S = (v_к - v_р) \cdot 5$$

Приравняем:

$$3(v_к + v_р) = 5(v_к - v_р)$$ $$3v_к + 3v_р = 5v_к - 5v_р$$ $$8v_р = 2v_к$$ $$v_к = 4v_р$$

Скорость плота равна скорости течения реки ($v_р$). Время, за которое плот проплывет расстояние $S$:

$$t = \frac{S}{v_р}$$

Выразим $S$ через скорость течения:

$$S = (4v_р + v_р) \cdot 3 = 15v_р$$

Тогда время:

$$t = \frac{15v_р}{v_р} = 15$$