Решить

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Для начала, запишем уравнение, которое нам дано: $$x^2 + (k^2 - 6k + 8)x + 3 - k = 0$$

Нам нужно найти сумму значений $k$, при которых сумма корней этого уравнения равна $0$. Вспомним теорему Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней $x_1$ и $x_2$ равна $-\frac{b}{a}$. В нашем случае, $a = 1$, $b = k^2 - 6k + 8$, и $c = 3 - k$.

Сумма корней нашего уравнения: $$x_1 + x_2 = -\frac{k^2 - 6k + 8}{1} = -(k^2 - 6k + 8)$$

Нам нужно, чтобы эта сумма была равна $0$: $$-(k^2 - 6k + 8) = 0$$ $$k^2 - 6k + 8 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $k$. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом. Давай разложим на множители: $$(k - 4)(k - 2) = 0$$

Значит, $k$ может быть равно $4$ или $2$. Проверим, существуют ли корни у исходного уравнения при этих значениях $k$. Если $k = 4$, то уравнение примет вид: $$x^2 + (4^2 - 6 \cdot 4 + 8)x + 3 - 4 = 0$$ $$x^2 + (16 - 24 + 8)x - 1 = 0$$ $$x^2 - 1 = 0$$ $x = \pm 1$.

Если $k = 2$, то уравнение примет вид: $$x^2 + (2^2 - 6 \cdot 2 + 8)x + 3 - 2 = 0$$ $$x^2 + (4 - 12 + 8)x + 1 = 0$$ $$x^2 + 1 = 0$$ У этого уравнения нет действительных корней.

Нам нужно найти сумму значений $k$. В нашем случае, это $4 + 2 = 6$.

Ответ: 6