Решение

Задание 24-1. Опровергните с помощью контрпримера утверждение: а) Если $a + b > 0$, то $a$ и $b$ – положительные числа. Контрпример: $a = 5$, $b = -2$. Тогда $a + b = 5 + (-2) = 3 > 0$, но $b$ – отрицательное число.

б) Если $ab > 0$, то $a$ и $b$ – положительные числа. Контрпример: $a = -2$, $b = -3$. Тогда $ab = (-2) \cdot (-3) = 6 > 0$, но $a$ и $b$ – отрицательные числа.

Задание 24-2. Выполните задания и проиллюстрируйте каждый случай конкретным примером. а) Известно, что $a$ и $b$ – положительные целые числа, причем $a < b$. Сравните $-a$ и $-b$. Пример: $a = 2$, $b = 5$. Тогда $-a = -2$, $-b = -5$. Очевидно, что $-2 > -5$, то есть $-a > -b$. Ответ: $-a > -b$

б) Известно, что $a$ и $b$ – отрицательные целые числа, причем $a < b$. Сравните $-a$ и $-b$. Пример: $a = -5$, $b = -2$. Тогда $-a = -(-5) = 5$, $-b = -(-2) = 2$. Очевидно, что $5 > 2$, то есть $-a > -b$. Ответ: $-a > -b$

в) Известно, что $a$ и $b$ – целые числа разных знаков, причем $a < b$. Сравните $-a$ и $-b$. Тут два случая: 1) $a < 0$, $b > 0$. Тогда $-a > 0$, $-b < 0$. Значит, $-a > -b$. 2) Допустим, что $a$ и $b$ – целые числа разных знаков, причем $a < b = 0$. Тогда можно считать, что $b = 0$. Сравните $-a$ и $-b$. Пример: $a = -5$, $b = 0$. Тогда $-a = -(-5) = 5$, $-b = -(0) = 0$. Очевидно, что $5 > 0$, то есть $-a > -b$. Пример: $a = -5$, $b = 2$. Тогда $-a = -(-5) = 5$, $-b = -(2) = -2$. Очевидно, что $5 > -2$, то есть $-a > -b$. Ответ: $-a > -b$

Задача 25-1. Два угла имеют общую сторону $AM$. Какую градусную меру может иметь угол $BAC$, если угол $BAM$ равен $115°$, а угол $MAC$ равен $40°$? Сделайте чертеж.

Угол $BAC$ может быть получен двумя способами: 1) $BAC = BAM + MAC = 115° + 40° = 155°$. Это если лучи $AM$ и $AC$ идут в разные стороны от луча $AB$. 2) $BAC = BAM - MAC = 115° - 40° = 75°$. Это если луч $AC$ находится между лучами $AB$ и $AM$.

Ответ: Угол $BAC$ может быть равен $155°$ или $75°$.

Задача 25-2. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 2,8 см, а другая – на 0,35 см больше. Длина большей стороны равна $2,8 + 0,35 = 3,15$ см. Площадь прямоугольника равна $2,8 \cdot 3,15 = 8,82$ см².

Ответ: Площадь прямоугольника равна 8,82 см².

Задача 26-1. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца съедят такой же воз сена? Пусть воз сена – это 1. Тогда: Лошадь за месяц съедает $\frac{1}{1}$ воза сена. Коза за месяц съедает $\frac{1}{2}$ воза сена. Овца за месяц съедает $\frac{1}{3}$ воза сена. Вместе за месяц они съедят $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6}{6} + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$ воза сена. Тогда воз сена они съедят за $1 : \frac{11}{6} = \frac{6}{11}$ месяца.

Ответ: Лошадь, коза и овца вместе съедят воз сена за $\frac{6}{11}$ месяца.

Задача 26-2. Летели галки и сели на палки. Если на каждую палку сядет по галке, то одной галке не хватит палки, а если на каждую палку сядут по две галки, то одна палка останется без галок. Сколько было палок и сколько галок?

Пусть $x$ – количество палок. Тогда количество галок равно $x + 1$. Если на каждую палку сядут по две галки, то одна палка останется без галок. Тогда количество галок равно $2(x - 1)$. Получаем уравнение: $x + 1 = 2(x - 1)$ $x + 1 = 2x - 2$ $x = 3$ Количество палок равно 3. Количество галок равно $3 + 1 = 4$.

Ответ: Было 3 палки и 4 галки.

Задача 27-1. В среду в шестом классе должно быть 5 уроков: русский язык, математика, география, английский язык и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день, если математика должна быть первым уроком?

Так как математика должна быть первым уроком, то остается 4 предмета, которые нужно расставить на 4 оставшихся места. Количество вариантов равно $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Ответ: Можно составить 24 различных варианта расписания.

Задача 27-2. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры? На каждом кубике 6 граней, из них 3 четные (2, 4, 6). Вероятность выпадения четной цифры на одном кубике равна $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Вероятность выпадения двух четных цифр равна $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: Вероятность выпадения двух четных цифр равна $\frac{1}{4}$.

Задача 28-1. Повторите формулы для вычисления длины окружности и площади круга. Какие еще формулы вам известны? Длина окружности: $C = 2\pi r$, где $r$ – радиус окружности. Площадь круга: $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга. Также мне известны формулы площади прямоугольника, квадрата, треугольника и т.д.

Задача 28-2. "Ежик". Вычислите сумму цифр, при помощи которых изображен ежик. При вычислении

К сожалению, я не могу видеть изображение ежика. Поэтому я не могу вычислить сумму цифр.