Доказать

Привет! Давай разберемся с этим заданием.

1. Доказательство тождества

Нам нужно доказать, что $\frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}$. Для этого приведем левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} = \frac{(x+n+1) - (x+n)}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{x+n+1-x-n}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)} $$

Итак, тождество доказано.

2. Упрощение выражения

Теперь упростим выражение $\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$, используя доказанное тождество.

Заметим, что мы можем представить каждую дробь в виде разности двух дробей, как в тождестве:

• $\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$ (здесь $n=1$)
• $\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$ (здесь $n=2$)
• $\frac{1}{(x+3)(x+4)} = \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}$ (здесь $n=3$)

Теперь сложим эти выражения:

$$ (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}) + (\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}) $$

Видим, что многие члены сокращаются:

$$ \frac{1}{x+1} \cancel{- \frac{1}{x+2}} + \cancel{\frac{1}{x+2}} \cancel{- \frac{1}{x+3}} + \cancel{\frac{1}{x+3}} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4} $$

Теперь приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4} = \frac{(x+4) - (x+1)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+4-x-1}{(x+1)(x+4)} = \frac{3}{(x+1)(x+4)} $$

Ответ: $\frac{3}{(x+1)(x+4)}$