Реши задачу

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Задание: Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$a\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 + 5\left(x + \frac{1}{x}\right) - 9a + 15 = 0$$ имеет ровно два различных решения.

Решение:

1. Замена переменной:

Введем новую переменную $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид: $$at^2 + 5t - 9a + 15 = 0$$

1. Анализ квадратного уравнения:

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $t$. Чтобы исходное уравнение имело ровно два различных решения относительно $x$, нам нужно проанализировать, какие значения $t$ приведут к этому.

1. Решения относительно x:

Если $t = x + \frac{1}{x}$, то $x^2 - tx + 1 = 0$. Решения этого уравнения: $$x = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 4}}{2}$$ Для существования решений необходимо, чтобы $t^2 \geq 4$, то есть $|t| \geq 2$.

• Если $|t| > 2$, то у нас два различных решения для $x$.
• Если $|t| = 2$, то у нас одно решение для $x$.

• Если $|t| < 2$, то решений для $x$ нет.

• Случаи для двух решений исходного уравнения:

Чтобы исходное уравнение имело ровно два различных решения, должны выполняться следующие условия:

• Квадратное уравнение относительно $t$ имеет один корень, такой что $|t| > 2$.
• Квадратное уравнение относительно $t$ имеет два корня, такие что один корень $|t| > 2$, а другой $|t| = 2$.

• Квадратное уравнение относительно $t$ имеет два корня, оба $|t| > 2$, но эти корни должны давать одинаковые решения для $x$.

• Анализ дискриминанта:

Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения относительно $t$: $$D = 5^2 - 4a(-9a + 15) = 25 + 36a^2 - 60a$$

1. Случай 1: Один корень

Если $D = 0$, то $36a^2 - 60a + 25 = 0$. Это можно переписать как $(6a - 5)^2 = 0$, откуда $a = \frac{5}{6}$. Подставим это значение в уравнение для $t$: $$\frac{5}{6}t^2 + 5t - 9 \cdot \frac{5}{6} + 15 = 0$$ $$\frac{5}{6}t^2 + 5t + \frac{5}{2} = 0$$ $$t^2 + 6t + 3 = 0$$ $$t = -3$$ Так как $|-3| > 2$, то это значение $t$ дает два различных решения для $x$.

1. Случай 2: Два корня

Если $D > 0$, то у нас два различных корня $t_1$ и $t_2$. Выразим корни через формулу: $$t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{36a^2 - 60a + 25}}{2a} = \frac{-5 \pm |6a - 5|}{2a}$$

Рассмотрим два подслучая: * $6a - 5 > 0$ или $a > \frac{5}{6}$: $$t_1 = \frac{-5 + 6a - 5}{2a} = \frac{6a - 10}{2a} = 3 - \frac{5}{a}$$ $$t_2 = \frac{-5 - (6a - 5)}{2a} = \frac{-6a}{2a} = -3$$ * $6a - 5 < 0$ или $a < \frac{5}{6}$: $$t_1 = \frac{-5 + 5 - 6a}{2a} = -3$$ $$t_2 = \frac{-5 - 5 + 6a}{2a} = \frac{6a - 10}{2a} = 3 - \frac{5}{a}$$

В обоих подслучаях один из корней $t = -3$.

Нам нужно, чтобы один из корней по модулю был равен 2, а другой больше 2.

Если $|t| = 2$, то $t = 2$ или $t = -2$. Мы уже знаем, что один корень равен -3, поэтому нам нужно рассмотреть только второй корень: $$3 - \frac{5}{a} = 2$$ $$\frac{5}{a} = 1$$ $$a = 5$$ В этом случае $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$. Так как $|-3| > 2$ и $|2| = 2$, то $a = 5$ подходит.

$$3 - \frac{5}{a} = -2$$ $$\frac{5}{a} = 5$$ $$a = 1$$ В этом случае $t_1 = -3$ и $t_2 = -2$. Так как $|-3| > 2$ и $|-2| = 2$, то $a = 1$ подходит.

1. Итоговый ответ:

Ответ: $a = \frac{5}{6}, a = 1, a = 5$.