Решите тригонометрическое уравнение sin²x-5 sin cosx+4cos²x=0

Привет! Давай решим это тригонометрическое уравнение вместе.

Уравнение: sin²x - 5 sin x cos x + 4 cos²x = 0

Решение:

1. Проверка cos x = 0:

Если cos x = 0, то sin x = ±1. Подставим в уравнение:

(±1)² - 5(±1)(0) + 4(0)² = 1 ≠ 0

Значит, cos x = 0 не является решением.

2. Делим на cos²x:

Так как cos x ≠ 0, можно разделить обе части уравнения на cos²x:

(sin²x / cos²x) - 5 (sin x cos x / cos²x) + 4 (cos²x / cos²x) = 0

Получаем: tan²x - 5 tan x + 4 = 0

3. Замена переменной:

Пусть t = tan x. Тогда уравнение принимает вид:

t² - 5t + 4 = 0

4. Решение квадратного уравнения:

Ищем корни квадратного уравнения t² - 5t + 4 = 0. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета:

t₁ + t₂ = 5

t₁ * t₂ = 4

Подходят корни t₁ = 1 и t₂ = 4.

5. Возвращаемся к тангенсу:

a) tan x = 1 => x = π/4 + πn, где n ∈ Z

b) tan x = 4 => x = arctan(4) + πk, где k ∈ Z

Ответ: x = π/4 + πn, x = arctan(4) + πk, где n, k ∈ Z

Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!