Решить задания

Конечно, я помогу тебе решить эти задания!

1. Найдите значение выражения: 29/7 : (2/7 + 3/4)

2. Сначала вычислим выражение в скобках: 2/7 + 3/4 = 8/28 + 21/28 = 29/28.

3. Теперь разделим 29/7 на 29/28: (29/7) : (29/28) = (29/7) * (28/29) = (29 * 28) / (7 * 29) = 28/7 = 4.

4. Ответ: 4

5. Найдите значение выражения: (9^3 * 9^(1/4)) / √9^12

6. Упростим числитель: 9^3 * 9^(1/4) = 9^(3 + 1/4) = 9^(13/4).

7. Упростим знаменатель: √9^12 = (9^(12))^(1/2) = 9^(12 * 1/2) = 9^6.
8. Разделим числитель на знаменатель: 9^(13/4) / 9^6 = 9^(13/4 - 6) = 9^(13/4 - 24/4) = 9^(-11/4).

9. Ответ: 9^(-11/4)

10. Число посетителей сайта увеличилось за месяц вчетверо. На сколько процентов увеличилось число посетителей сайта за этот месяц?

11. Пусть начальное число посетителей было X. После увеличения вчетверо стало 4X.

12. Увеличение составило 4X - X = 3X.
13. Процентное увеличение: (3X / X) * 100% = 3 * 100% = 300%.

14. Ответ: 300%

15. Известно, что 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1) / 6. Найдите сумму 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 30^2.

16. Подставим n = 30 в формулу: 30 * (30 + 1) * (2 * 30 + 1) / 6 = 30 * 31 * 61 / 6.

17. Вычислим: (30 * 31 * 61) / 6 = (5 * 31 * 61) = 9455.

18. Ответ: 9455

19. Найдите tg α, если cos α = 1/√10 и α ∈ (3π/2; 2π).

20. Так как α находится в четвертой четверти (3π/2 < α < 2π), то sin α < 0.

21. Используем основное тригонометрическое тождество: sin^2 α + cos^2 α = 1.
22. sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - (1/√10)^2 = 1 - 1/10 = 9/10.
23. sin α = -√(9/10) = -3/√10 (отрицательный, так как в IV четверти).
24. tg α = sin α / cos α = (-3/√10) / (1/√10) = -3.

25. Ответ: -3

26. Найдите корень уравнения: 6 / √(4x - 54) = 1/7.

27. Перевернем обе части уравнения: √(4x - 54) / 6 = 7.

28. Умножим обе части на 6: √(4x - 54) = 42.
29. Возведем обе части в квадрат: 4x - 54 = 42^2 = 1764.
30. 4x = 1764 + 54 = 1818.
31. x = 1818 / 4 = 454.5.

32. Ответ: 454.5

33. Найдите корень уравнения: (2x - 1)^2 - 4x^2 = 0.

34. Раскроем скобки: 4x^2 - 4x + 1 - 4x^2 = 0.

35. Упростим: -4x + 1 = 0.
36. 4x = 1.
37. x = 1/4 = 0.25

38. Ответ: 0.25

39. Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 900 м и 400 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно отгородить забором. Найдите длину этого забора. Ответ дайте в метрах.

40. Одна большая сторона (900 м) идёт вдоль моря, значит, нужно огородить две короткие стороны (400 м) и одну большую сторону (900 м).

41. Длина забора: 400 + 400 + 900 = 1700 м.

42. Ответ: 1700

43. Решите неравенство: 6^x + (1/6)^x > 2.

44. Заметим, что (1/6)^x = 6^(-x).

45. Пусть y = 6^x. Тогда неравенство можно переписать как y + 1/y > 2.
46. Умножим обе части на y (y > 0, так как y = 6^x): y^2 + 1 > 2y.
47. Перенесем все в одну сторону: y^2 - 2y + 1 > 0.
48. Это можно записать как (y - 1)^2 > 0.
49. Это верно для всех y ≠ 1.
50. Значит, 6^x ≠ 1.
51. Следовательно, x ≠ 0.

52. Ответ: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

53. Найдите корень уравнения: 5^(x-7) = 1/125.

    • Заметим, что 1/125 = 1/5^3 = 5^(-3).
    • Тогда уравнение можно переписать как 5^(x-7) = 5^(-3).
    • Следовательно, x - 7 = -3.
    • x = -3 + 7 = 4.
    • Ответ: 4

54. (1 балл) На рисунке (см. ниже) изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-6;6). Определите при каких значениях х производная функции равна нулю.

    • Производная функции равна нулю в точках экстремума (максимума и минимума).
    • На графике видим, что экстремумы находятся примерно в точках x = -3 и x = 2.
    • Ответ: x = -3, x = 2

55. (1 балл) Определите наибольшее и наименьшее значения функции.

    • Наибольшее значение функции достигается в точке максимума, примерно равно 4.
    • Наименьшее значение функции достигается в точке минимума, примерно равно -4.
    • Ответ: Наибольшее значение: 4, наименьшее значение: -4

56. (1 балл) При каких значениях х, f(x)≥4.

    • f(x) ≥ 4 только в точке максимума, то есть примерно при x = -3.
    • Ответ: x = -3

57. (1 балл) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

    • Функция возрастает на промежутках: (-6; -3) и (2; 6).
    • Функция убывает на промежутках: (-3; 2).
    • Ответ: Возрастает: (-6; -3) и (2; 6). Убывает: (-3; 2)