Алгебра: найди интеграл

Конечно, давай решим этот интеграл!

Сначала, нужно упростить выражение под интегралом, разделив каждый член в числителе на x:

∫ (x^(3/4) + x^(2/3) + x^(1/2)) / x dx = ∫ (x^(3/4) / x + x^(2/3) / x + x^(1/2) / x) dx

Теперь упростим показатели степеней, помня, что x это x^1:

∫ (x^(3/4 - 1) + x^(2/3 - 1) + x^(1/2 - 1)) dx = ∫ (x^(-1/4) + x^(-1/3) + x^(-1/2)) dx

Теперь можно взять интеграл от каждого члена по отдельности, используя правило ∫x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C:

∫ x^(-1/4) dx = (x^(-1/4 + 1)) / (-1/4 + 1) + C = (x^(3/4)) / (3/4) + C = (4/3) * x^(3/4) + C ∫ x^(-1/3) dx = (x^(-1/3 + 1)) / (-1/3 + 1) + C = (x^(2/3)) / (2/3) + C = (3/2) * x^(2/3) + C ∫ x^(-1/2) dx = (x^(-1/2 + 1)) / (-1/2 + 1) + C = (x^(1/2)) / (1/2) + C = 2 * x^(1/2) + C

Соберем все вместе:

(4/3) * x^(3/4) + (3/2) * x^(2/3) + 2 * x^(1/2) + C

Ответ: (4/3) * x^(3/4) + (3/2) * x^(2/3) + 2 * x^(1/2) + C