Решить уровнения

Привет! Давай решим эти уравнения.

а) log₃(x² + 6) = log₃(5x)

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять аргументы:

x² + 6 = 5x

Перенесем все в одну сторону:

x² - 5x + 6 = 0

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Здесь легко подобрать корни:

x₁ = 2, x₂ = 3

Проверим корни, подставив в исходное уравнение:

Для x = 2: log₃(2² + 6) = log₃(10) и log₃(52) = log₃(10). Подходит. Для x = 3: log₃(3² + 6) = log₃(15) и log₃(53) = log₃(15). Подходит.

Ответ: x = 2, x = 3

б) log₁/₂(7x² - 200) = log₁/₂(50x)

Основания логарифмов одинаковы, приравниваем аргументы: 7x² - 200 = 50x 7x² - 50x - 200 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = (-50)² - 4 * 7 * (-200) = 2500 + 5600 = 8100 x₁ = (50 + √8100) / (2 * 7) = (50 + 90) / 14 = 140 / 14 = 10 x₂ = (50 - √8100) / (2 * 7) = (50 - 90) / 14 = -40 / 14 = -20/7

Проверим корни:

Для x = 10: 7 * 10² - 200 = 500 > 0 и 50 * 10 = 500 > 0. Подходит. Для x = -20/7: 7 * (-20/7)² - 200 = 7 * 400/49 - 200 = 400/7 - 200 < 0. Не подходит, так как аргумент логарифма должен быть положительным.

Ответ: x = 10

в) lg(x² - 6) = lg(8 + 5x)

x² - 6 = 8 + 5x x² - 5x - 14 = 0 (x - 7)(x + 2) = 0 x₁ = 7, x₂ = -2

Проверим корни: Для x = 7: x² - 6 = 49 - 6 = 43 > 0 и 8 + 5x = 8 + 35 = 43 > 0. Подходит. Для x = -2: x² - 6 = 4 - 6 = -2 < 0. Не подходит.

Ответ: x = 7

г) lg(x² - 8) = lg(2 - 9x)

x² - 8 = 2 - 9x x² + 9x - 10 = 0 (x + 10)(x - 1) = 0 x₁ = -10, x₂ = 1

Проверим корни: Для x = -10: x² - 8 = 100 - 8 = 92 > 0 и 2 - 9x = 2 + 90 = 92 > 0. Подходит. Для x = 1: x² - 8 = 1 - 8 = -7 < 0. Не подходит.

Ответ: x = -10