Реши подробно

Question

Вопрос:

Реши подробно

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Конечно, давай решим это уравнение!

У нас есть уравнение: arcsin(x) + arcsin(x/2) = π/2

Чтобы решить это уравнение, мы можем выразить один из арксинусов через другой:

arcsin(x/2) = π/2 - arcsin(x)

Теперь возьмем синус от обеих частей уравнения:

sin(arcsin(x/2)) = sin(π/2 - arcsin(x))

x/2 = cos(arcsin(x))

Мы знаем, что cos(arcsin(x)) можно выразить как √(1 - x^2). Это потому, что если arcsin(x) = θ, то sin(θ) = x, и cos(θ) = √(1 - sin^2(θ)) = √(1 - x^2).

Так что теперь у нас есть:

x/2 = √(1 - x^2)

Возведем обе части в квадрат:

(x/2)^2 = 1 - x^2

x^2/4 = 1 - x^2

x^2 = 4 - 4x^2

5x^2 = 4

x^2 = 4/5

x = ±√(4/5) = ±(2/√5) = ±(2√5)/5

Теперь нам нужно проверить, какие из этих решений подходят, потому что возведение в квадрат могло ввести лишние корни.

Проверка x = (2√5)/5:

arcsin((2√5)/5) + arcsin((√5)/5) = π/2

Это решение подходит.

Проверка x = -(2√5)/5:

arcsin(-(2√5)/5) + arcsin(-(√5)/5) = π/2

Это решение не подходит, потому что обе части будут отрицательными, и их сумма не может быть равна π/2.

Ответ: x = (2√5)/5

Реши подробно

Ответ ассистента

Другие решения