Реши карточки, по отдельности, теоремы тоже пиши максимально кратко пожалуйста, пиши теоремы

Конечно, решим задачи по порядку!

Карточка 9

1. На рисунке AB = CD, BD = AC. Докажите, что ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠ABD, если ∠ACD = 70°.

Решение:

• Рассмотрим треугольники АВС и DCB. У них АВ = CD, BD = AC, а сторона ВС – общая. Значит, треугольники АВС и DCB равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует, что ∠ACB = ∠DBC и ∠ABC = ∠DCB.
• Рассмотрим треугольники ACD и ABD. У них AC = BD, AB = CD, AD - общая сторона. Значит, треугольники ACD и BDA равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников ACD и BDA следует, что ∠CAD = ∠ADB. Что и требовалось доказать.
• Так как ∠ACD = 70°, то ∠ABD = ∠ACD = 70° (так как треугольники АВС и DCB равны).

Ответ: ∠ABD = 70°

Карточка 10

1. На рисунке ∠DBC = ∠CAD, BO = AO. Докажите, что ∠C = ∠D. Найдите АС, если BD = 12 см.

Решение:

• Рассмотрим треугольники AOB. Так как AO = BO, то треугольник AOB – равнобедренный, значит, углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA.
• По условию ∠DBC = ∠CAD. Значит, ∠DBC + ∠OBA = ∠CAD + ∠OAB. То есть ∠ABC = ∠BAD.
• Рассмотрим треугольники ABC и BAD. У них AB – общая сторона, AO=BO и ∠ABC = ∠BAD. Значит, треугольники ABC и BAD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (II признак равенства треугольников).
• Из равенства треугольников ABC и BAD следует, что ∠C = ∠D. Что и требовалось доказать.
• Так как треугольники ABC и BAD равны, то AC = BD. А так как BD = 12 см, то AC = 12 см.

Ответ: AC = 12 см

Карточка 11

1. В равнобедренном треугольнике угол при основании в 2 раза меньше, чем угол при вершине. Найдите все углы треугольника.

Решение:

• Пусть угол при основании равен х, тогда угол при вершине равен 2х.
• Сумма углов треугольника равна 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, х + х + 2х = 180°.
• 4х = 180°.
• х = 45°. Значит, угол при основании равен 45°, а угол при вершине равен 2 * 45° = 90°.

Ответ: Углы треугольника: 45°, 45°, 90°

Теперь кратко о теоремах:

Карточка 9

1. Теорема о единственности перпендикуляра: Из точки вне прямой можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.
2. Неравенство треугольника: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Карточка 10

1. Определение равнобедренного треугольника: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Теорема о свойствах углов при его основании: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот.

Карточка 11

1. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2. Окружность: геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра). Диаметр: хорда, проходящая через центр. Радиус: отрезок, соединяющий центр с точкой на окружности. Хорда: отрезок, соединяющий две точки на окружности. Дуга окружности: часть окружности, ограниченная двумя точками.