Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 34 см, а один из катетов больше другого на 14 см.

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

1. Вспоминаем теорему Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если гипотенуза равна c, а катеты a и b, то:

a^2 + b^2 = c^2

2. Обозначаем неизвестные

• Пусть меньший катет будет x см.
• Тогда больший катет будет (x + 14) см.
• Гипотенуза равна 34 см.

3. Составляем уравнение

Подставляем наши значения в теорему Пифагора:

x^2 + (x + 14)^2 = 34^2

4. Решаем уравнение

• Раскрываем скобки: x^2 + (x^2 + 28x + 196) = 1156
• Упрощаем: 2x^2 + 28x + 196 = 1156
• Переносим всё в левую часть: 2x^2 + 28x - 960 = 0
• Делим обе части на 2: x^2 + 14x - 480 = 0

Теперь у нас квадратное уравнение. Решаем его через дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 * 1 * (-480) = 196 + 1920 = 2116
• √D = √2116 = 46
• x₁ = (-b + √D) / 2a = (-14 + 46) / 2 = 32 / 2 = 16
• x₂ = (-b - √D) / 2a = (-14 - 46) / 2 = -60 / 2 = -30 (этот корень не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Итак, меньший катет x = 16 см.

5. Находим второй катет

Больший катет равен x + 14 = 16 + 14 = 30 см.

6. Вычисляем площадь

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

S = (a * b) / 2 = (16 * 30) / 2 = 480 / 2 = 240 см^2

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 240 см^2.