Найти наибольшее и наименьшее значение функции. y=3x⁴+4x³+1 на [-2;1]

Привет! Давай вместе решим эту задачу. Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции y = 3x⁴ + 4x³ + 1 на отрезке [-2; 1].

1. Находим производную функции:

Сначала найдем производную нашей функции, чтобы определить точки, где функция может достигать экстремумов (максимума или минимума).

y' = d/dx (3x⁴ + 4x³ + 1) = 12x³ + 12x²

2. Находим критические точки:

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения x, при которых это происходит:

12x³ + 12x² = 0 12x²(x + 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значения для x:

x = 0 или x = -1

Оба этих значения лежат в нашем отрезке [-2; 1], так что они нам подходят.

3. Проверяем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

Теперь нам нужно вычислить значение функции y в критических точках (x = 0 и x = -1) и на концах отрезка (x = -2 и x = 1):

• x = -2: y = 3(-2)⁴ + 4(-2)³ + 1 = 316 + 4(-8) + 1 = 48 - 32 + 1 = 17
• x = -1: y = 3(-1)⁴ + 4(-1)³ + 1 = 31 + 4(-1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0
• x = 0: y = 3(0)⁴ + 4(0)³ + 1 = 0 + 0 + 1 = 1
• x = 1: y = 3(1)⁴ + 4(1)³ + 1 = 31 + 41 + 1 = 3 + 4 + 1 = 8

4. Определяем наибольшее и наименьшее значения:

Сравнивая полученные значения, видим:

• Наибольшее значение: 17 (при x = -2)
• Наименьшее значение: 0 (при x = -1)

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [-2; 1] равно 17, а наименьшее значение равно 0.

Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если возникнут вопросы, не стесняйся спрашивать.