На доске записаны числа от 1 до 100. Соня и Марк играют в игру: они по очереди стирают эти числа по одному, пока на доске не останется ровно 3 числа. Первой ходит Соня. Она выигрывает, если каждое из оставшихся чисел будет меньше суммы двух других. В противном случае выигрывает Марк. Кто победит при правильной игре?

Привет! Это интересная задачка на стратегию. Давай разберемся, кто же победит.

Анализ стратегии

Чтобы Соня выиграла, нужно, чтобы оставшиеся три числа удовлетворяли условию "каждое число меньше суммы двух других". Это значит, что если у нас есть числа a, b, c, то должны выполняться неравенства:

• a < b + c
• b < a + c
• c < a + b

Это условие выполняется, если самое большое число меньше суммы двух других.

Стратегия Марка

Марк может помешать Соне, оставив такие три числа, чтобы условие Сони не выполнялось. Для этого Марку нужно оставить три числа, где самое большое число больше или равно сумме двух других.

Решение

Марк может гарантированно выиграть. Вот как ему нужно играть:

1. Первые ходы: Марк должен стараться оставлять на доске как можно больше больших чисел.
2. Последние ходы: Когда на доске остается мало чисел, Марк должен следить, чтобы после его хода три оставшихся числа не удовлетворяли условию Сони.

Предположим, что осталось 4 числа: a < b < c < d. Если Марк оставит числа b, c, d, то нужно проверить, выполнится ли условие d < b + c. Если d ≥ b + c, то Марк выиграл.

Марк может придерживаться такой стратегии: всегда стирать наименьшее число на доске. Тогда в конце останутся три самых больших числа, и скорее всего, условие Сони не выполнится.

Пример: Если останутся числа 98, 99, 100, то 100 < 98 + 99 (100 < 197) - условие выполняется. Но если останутся 2, 99, 100 то 100 < 2 + 99 (100 < 101) - тоже выполняется. Но Марк может оставить числа 1, 50, 100. Тогда 100 < 1 + 50 (100 < 51) - условие не выполняется.

Вывод

При правильной игре победит Марк. Ему нужно придерживаться стратегии, чтобы в конце остались три числа, где наибольшее число будет больше или равно сумме двух наименьших.