Найти одну из первообразных функции

Привет! Давай разберемся с заданием. Нам нужно найти для каждой функции одну из её первообразных. Это значит, что нужно найти такую функцию, чья производная будет равна исходной функции.

1) f(x) = e^(2x) - cos(3x) Первообразная для e^(2x) будет (1/2)e^(2x), так как производная (1/2)e^(2x) равна e^(2x). Первообразная для cos(3x) будет (1/3)sin(3x), так как производная (1/3)sin(3x) равна cos(3x). Таким образом, первообразная для f(x) будет F(x) = (1/2)e^(2x) - (1/3)sin(3x) + C.

2) f(x) = e^(x/4) + sin(2x) Первообразная для e^(x/4) будет 4e^(x/4), так как производная 4e^(x/4) равна e^(x/4). Первообразная для sin(2x) будет -(1/2)cos(2x), так как производная -(1/2)cos(2x) равна sin(2x). Таким образом, первообразная для f(x) будет F(x) = 4e^(x/4) - (1/2)cos(2x) + C.

3) f(x) = 2sin(x/5) - 5e^(2x + 1/3) Первообразная для 2sin(x/5) будет -10cos(x/5), так как производная -10cos(x/5) равна 2sin(x/5). Первообразная для -5e^(2x + 1/3) будет -(5/2)e^(2x + 1/3), так как производная -(5/2)e^(2x + 1/3) равна -5e^(2x + 1/3). Таким образом, первообразная для f(x) будет F(x) = -10cos(x/5) - (5/2)e^(2x + 1/3) + C.

4) f(x) = 3cos(x/7) + 2e^(3x - 1/2) Первообразная для 3cos(x/7) будет 21sin(x/7), так как производная 21sin(x/7) равна 3cos(x/7). Первообразная для 2e^(3x - 1/2) будет (2/3)e^(3x - 1/2), так как производная (2/3)e^(3x - 1/2) равна 2e^(3x - 1/2). Таким образом, первообразная для f(x) будет F(x) = 21sin(x/7) + (2/3)e^(3x - 1/2) + C.

5) f(x) = √(x/5) + 4sin(4x + 2) Первообразная для √(x/5) = (1/√5) * √x = (1/√5) * x^(1/2) будет (1/√5) * (2/3) * x^(3/2) = (2/(3√5)) * x^(3/2). Первообразная для 4sin(4x + 2) будет -cos(4x + 2), так как производная -cos(4x + 2) равна 4sin(4x + 2). Таким образом, первообразная для f(x) будет F(x) = (2/(3√5)) * x^(3/2) - cos(4x + 2) + C.

6) f(x) = 4/√(3x+1) - 3/(2x-5) Первообразная для 4/√(3x+1) = 4(3x+1)^(-1/2) будет (8/3)√(3x+1), так как производная (8/3)√(3x+1) равна 4/√(3x+1). Первообразная для -3/(2x-5) будет -(3/2)ln|2x-5|, так как производная -(3/2)ln|2x-5| равна -3/(2x-5). Таким образом, первообразная для f(x) будет F(x) = (8/3)√(3x+1) - (3/2)ln|2x-5| + C.

Ответ: Мы нашли первообразные для каждой из предложенных функций. Каждая первообразная включает в себя константу интегрирования C.