реши

Привет! Давай исследуем эти функции на монотонность.

а) y = x^3/3 - 5x^2/2 + 6x - 19

Чтобы исследовать функцию на монотонность, нужно найти её производную и посмотреть, где она больше или меньше нуля.

1. Находим производную:

y' = d/dx (x^3/3 - 5x^2/2 + 6x - 19) = x^2 - 5x + 6

1. Находим нули производной:

Решаем уравнение x^2 - 5x + 6 = 0. Это квадратное уравнение, можно решить через дискриминант:

D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

x1 = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3

x2 = (5 - √1) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2

1. Определяем знаки производной на интервалах:

На координатной прямой отмечаем точки 2 и 3. Получаем три интервала: (-∞, 2), (2, 3), (3, +∞). Нужно определить знак производной на каждом из этих интервалов. Можно взять любое число из интервала и подставить в производную.

• Интервал (-∞, 2): Возьмём x = 0. y'(0) = 0^2 - 5*0 + 6 = 6 > 0. Значит, на этом интервале функция возрастает.
• Интервал (2, 3): Возьмём x = 2.5. y'(2.5) = (2.5)^2 - 5*2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0. Значит, на этом интервале функция убывает.

• Интервал (3, +∞): Возьмём x = 4. y'(4) = 4^2 - 5*4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0. Значит, на этом интервале функция возрастает.

• Делаем вывод:

• Функция возрастает на интервалах (-∞, 2) и (3, +∞).

• Функция убывает на интервале (2, 3).

б) y = sin x - 3x

1. Находим производную:

y' = d/dx (sin x - 3x) = cos x - 3

1. Анализируем производную:

Мы знаем, что cos x всегда находится в диапазоне от -1 до 1, то есть -1 ≤ cos x ≤ 1. Следовательно, cos x - 3 всегда будет отрицательным, так как максимальное значение cos x равно 1, и 1 - 3 = -2 < 0.

1. Делаем вывод:

Так как производная y' = cos x - 3 всегда отрицательна, функция y = sin x - 3x убывает на всей области определения (то есть на всей числовой прямой).

Надеюсь, теперь всё понятно!