Реши

Привет! Давай разберем эту задачу по геометрии вместе.

1) Доказательство, что прямые EM и KP не имеют общих точек.

• Мы знаем, что ∠PMK = 90°.
• Также дано, что ∠MKP = 30°.
• Значит, ∠KMP = 180° - 90° - 30° = 60°.
• По условию, ∠MEP = ∠EPM, то есть треугольник MEP - равнобедренный.
• ∠MEP = (180°- 30°)/2 = 75°.
• ∠EMP = 180° - 75° - 75° = 30°.
• ∠KME = ∠KMP + ∠PME = 60° + 30° = 90°.
• Раз ∠KME = 90°, а ∠EPM = 75°, то сумма этих углов не равна 180°. Значит, прямые EM и KP не параллельны.
• Если прямые EM и KP пересекались бы, то они имели бы общую точку.
• Раз они не параллельны и не пересекаются, значит, они не имеют общих точек. Что и требовалось доказать.

2) Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP?

• Рассмотрим прямоугольный треугольник ЕМР.
• ME = 10 (дано).
• ∠ЕРМ = 75°, ∠ЕМР = 30°.
• ЕР = ME * cos(30°).
• ЕР = 10 * √3 / 2 = 5√3.
• √3 ≈ 1,73.
• ЕР ≈ 5 * 1,73 = 8,65.
• Значит, длина отрезка ЕР заключена между целыми числами 8 и 9. Ответ: между 8 и 9.

3) Найдите длину медианы MD треугольника РМК.

• В прямоугольном треугольнике РМК медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
• MD = PK/2.
• Найдем длину PK.
• В прямоугольном треугольнике РМК: ∠МКР = 30°. Значит, РМ = 1/2 PK (катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы).
• Пусть РМ = x, тогда PK = 2x.
• По теореме Пифагора: РМ^2 + MK^2 = PK^2.
• x^2 + MK^2 = (2x)^2.
• MK^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2.
• МK = x√3.
• Рассмотрим треугольник MЕР: ∠МЕР = ∠ЕРМ = 75°, ЕМ = 10.
• ∠ЕМР = 30°.
• PM / sin(75°) = EM / sin(30°).
• PM = (EM * sin(75°)) / sin(30°) = (10 * sin(75°)) / 0,5 = 20 * sin(75°).
• sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2 / 2) * (√3 / 2) + (√2 / 2) * (1 / 2) = (√6 + √2) / 4.
• PM = 20 * ((√6 + √2) / 4) = 5 * (√6 + √2).
• PM = x = 5 * (√6 + √2).
• PK = 2x = 10 * (√6 + √2).
• MD = PK / 2 = 5 * (√6 + √2).
• √6 ≈ 2,45, √2 ≈ 1,41.
• MD ≈ 5 * (2,45 + 1,41) = 5 * 3,86 = 19,3. Ответ: MD ≈ 19,3.