вычислить двойной интеграл по указанной области D

Question

Вопрос:

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Привет! Давай разберем этот двойной интеграл.

Задание: Вычислить двойной интеграл ∫∫_D (4xy + 176x^3y^3) dxdy, где область D ограничена линиями x=1, y=√x, y=-x^3.

Решение:

Определим границы интегрирования:
- По x: Область ограничена x=1. Нам нужно найти точку пересечения кривых y=√x и y=-x^3. Приравняем их: √x = -x^3. Так как корень не может быть отрицательным, а x^3 может, то x = 0 - это очевидное решение. Значит, x изменяется от 0 до 1.
- По y: Для каждого x от 0 до 1, y изменяется от -x^3 (нижняя граница) до √x (верхняя граница).
Запишем двойной интеграл с границами:

∫₀¹ ∫₋ₓ³^(√x) (4xy + 176x³y³) dy dx
Вычислим внутренний интеграл по y:

∫₋ₓ³^(√x) (4xy + 176x³y³) dy = [2xy² + 44x³y⁴] от -x³ до √x

= (2x(√x)² + 44x³(√x)⁴) - (2x(-x³)² + 44x³(-x³)^4)

= (2x² + 44x⁵) - (2x⁷ + 44x¹⁵)
Вычислим внешний интеграл по x:

∫₀¹ (2x² + 44x⁵ - 2x⁷ - 44x¹⁵) dx = [2/3 x³ + 44/6 x⁶ - 2/8 x⁸ - 44/16 x¹⁶] от 0 до 1

= (2/3 + 22/3 - 1/4 - 11/4) - (0)

= 24/3 - 12/4

= 8 - 3

= 5

Ответ: 5